안녕하세요.
이공계 유학의 지름길, 케빈아카데미입니다.
암산을 해야 하는 이유?
미국 수학경시대회 AMC를 잘 보기 위해서는 빠른 연산 속도 역시 강조되곤 합니다.
국제학교 학생들은 일반적으로 계산기를 자유롭게 사용할 수 있는 환경에서 공부하다 보니,
대개 계산기 없는 환경에서 수학 문제나 과학 문제를 풀게 되면 풀이 속도가 느려집니다.
제가 수업을 맡는 학생들의 절대다수도이러한 고질병을 앓고 있기에 SAT/ACT, SAT II, AMC, AP 등 시험에서 수학 문제를 풀 때 고전하곤 합니다.
저는 평소 수업을 할 때, 실제 시험에서 계산기를 쓸 수 있건 없건 수업 중에는 최대한 계산기 사용을 지양하는 것을 강조하는 편인데, 이유는 다음과 같습니다.
1. 계산기를 쓰면 연산 속도가 느려집니다.
너무 자명한 명제인 만큼 더 설명하지 않겠습니다.
2. 계산기는 오타를 내기 쉬운 기계입니다.
학부모님들의 경우 다른 사람에게 문자를 보낼 때 오타를 내신 적이 분명히 있으실 겁니다.
손에서 떼려야 뗄 수 없는 스마트폰을 쓸 때도, 일평생 썼던 컴퓨터 키보드로 글을 쓰는 와중에도 오타가 발생하는데, 시험 기간에만 쓰는, 복잡하고 복잡한 공학 계산기로 문제를 푸는 학생들은 항상 오타와의 싸움을 하고 있답니다.
심지어, 휴대폰이나 노트북 모니터와는 다르게 어두컴컴하고 단조로운 계산기 액정에선 그 오탈자를 확인하는 것이 더더욱 힘듭니다.
3. 문제를 왜 틀렸는지 찾아내기 힘듭니다.
이는 저와 같은 선생님과 함께 공부하던, 혼자 자습을 하던 생기는 가장 큰 문제입니다.
문제를 푼 흔적이 계산기에만 남고 종이 위에 남지 않으면, 틀린 문제를 보고 "내가 어디서 틀렸지...?"라는 질문에 학생이 답을 할 수 없습니다.
이는 복습이 필수적인 수학/과학 문제들을 풀 때 굉장히 치명적인 단점으로 남습니다.
4. 시험장에서 고장이 나는 경우도 있습니다.
마지막으로 네 번째는, 제가 고등학교 1학년 때 SAT Math II C를 보면서 실제로 일어난 일입니다.
정확히 말하면 그래프를 해석해야 하는 문제였는데, 전날 제가 룸메이트와 장난을 치면서 그래프를 어마무지하게 확대해놓은 상황이라 그려진 그래프의 극히 일부분만 투사되고 나머지는 생략되는 일이 일어났습니다.
계산기를 완벽하게 숙달하지 않은 상태였기에 남은 문제들을 직접 손으로 다 풀어냈고, 결과적으로 800점을 맞을 수 있었는데요.
제가 평소에 연산 훈련이 잘 되어 있지 않았더라면 이렇게 만회할 수는 절대로 없었을 겁니다.
자, 그럼 연산속도를 늘리면서 실제 시험에 도움까지 되는 알짜배기 훈련들은 무엇이 있을까요?
오늘은 "루트를 구하는 방법"과 "곱셈하는 방법" 등을 예시로 보여드리겠습니다.
첫 번째는 루트를 구하는 방법입니다.
루트 23은 얼마일까요? 아마 4.8 정도의 숫자로 예상됩니다.
어떻게 계산기를 사용하지 않고 이런 결론을 도출할 수 있을까요?
기본적으로 이 메커니즘으로 루트 값을 어림하려면, 제곱수에 대한 완벽한 이해가 필요합니다.
"루트" 란 제곱하여 그 속에 있는 수가 나오는 수로, 루트 4는 2가 되고, 마찬가지로 루트 25는 5가 되며, 루트 16은 4가 된다는 것을 알 수 있습니다.
그러면 루트 23은 4와 5 사이에 있는 수고, 16과 25를 촘촘히 나누면 사이에 9개 칸이 생기니, 25보다 2가 부족한 23은 루트를 씌우면
"대략적으로" 루트 25 (=5)에서 0.2 정도를 뺀 4.8이 될 것이라 예상할 수 있습니다.
계산해 볼까요?
0.004 정도의 오차입니다.
이 정도의 오차는 루트의 특성상 당연히 발생하지만 실제 시험에선 절대로 이런 사소한 차이로 인해 오답을 적을 일이 생기지 않습니다.
이런 식으로 연습을 반복하면 계산기가 없으면 절대로 구할 수 없을 것 같던 루트 값도 구할 수 있겠지요.
이번엔 곱셈 차례입니다.
물론 굉장히 이상적인 케이스지만, 한번 135*165를 계산해 보겠습니다.
제 생각엔 답이 22275일 것 같은데, 한 번 확인해보도록 하겠습니다.
풀이는 다음과 같습니다.
중학교 수학을 배우면 합차공식이라는 개념이 나옵니다.
(a+b)(a-b) = a2-b2라는 공식이지요. 인수분해를 배울 때 아주 많이 쓰는 공식입니다.
그렇다면, 135와 165는 정확히 30만큼 차이가 나니, 그 사이에 150이 있다고 볼 수 있겠네요.
그럼 저 식은 135=150-15, 165=150+15이므로, 150을 a, 15를 b라고 놓고 윗 공식에 그대로 대입하면,
(150-15)(150+15) = 1502 - 152이 됨을 확인할 수 있습니다.
15의 제곱은 225이니, 150의 제곱은 15의 제곱 곱하기 10의 제곱으로 225*100 = 22500이 됩니다.
여기서 225를 빼주면 22275가 나오게 되지요.
이렇게 풀어서 쓰니 굉장히 복잡한 메커니즘을 거쳐 답에 도달한 것 같이 보이지만,
사실 인수분해와 제곱수만 알고 있으면 머릿속에서 금방 풀 수 있는 문제입니다.
또한 얼핏 보면 셈법만 배운 것 같지만, 이 훈련의 핵심은 연산 속도만 느는 것이 아닙니다.
루트의 값을 구하기 위해서는 단순히 제곱수를 "아는" 것이 아니라 기계처럼 반사적으로 머릿속에서 떠올릴 정도로 반복하고 또 반복하며 공부해야 합니다.
마찬가지로, 세 자리 이상의 숫자를 곱하는 과정에서는 제곱수는 물론, 저런 셈법을 반사적으로 떠올리기 위해 다양한 대수 공식이 숙달되는 시점까지 자연스레 복습하고 체득하게 되겠지요.
연산으로 해결할 수 있는 문제들은 이렇게 쉽고 간단한 문제들에 그치지 않습니다.
다양한 접근법으로, 절대 구할 수 없을 것 같은 trigonometry, logarithm 등 단원의, 손으로만 풀기엔 정말 불가능해 보이는 영역의 문제들도 얼마든지 손쉽게 해결할 수 있습니다.
어느 정도 경지에 도달하면 SAT I/II 수학 시험을 보러 입실할 때 계산기는 최후의 보루라고 생각하고 들고 들어가도 남들보다 훨씬 빨리 풀 수 있습니다.
작년 겨울 진행했던 SAT2 Math IIC 수업에선 아이들에게는 계산기를 쥐어주고, 제가 손으로만 문제를 풀며 걸린 시간 + 10분 이내로
다 푸는 학생이 있는 날엔 저녁을 사기로 했습니다.
마지막 주까지 계산기만 잡고 있던 친구들은 종강하는 날까지 제 속도를 절대로 따라잡지 못한 반면, 처음엔 어렵지만 연습에 연습을 거듭한 학생 몇 명은 제가 준 시간제한 안에 완벽히 문제를 풀어냈습니다.
이제라도 계산기 없이 문제를 푸는 훈련을 조금씩이라도 시도해보시는 건 어떨까요?
오늘도 감사합니다.
이처럼 저희 케빈아카데미에서는 학교 진도 과정과 학생의 현재 상황을 종합적으로 평가하여 학생이 필요한 결과를 내고 있습니다.
공부의 깊이와 내공은 하루아침에 쌓이는 것이 아닙니다.
특히 수학은 더더욱 그렇습니다.
평범한 학생은 우수하게, 우수한 학생은 더 우수하게 만들자는 신념으로 교육하고 있습니다.
그중 대표강사이신 케빈 선생님의 겨울특강이 진행됩니다.
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AMC 12 만점자 출신 Kevin 선생님을 소개합니다!
안녕하세요. 이공계 유학의 지름길, 케빈아카데미입니다. Kevin 선생님은 외대부고(구 용인외고, HAFS) 국제과정 졸업 후 연세대학교 수학과와 미국/영국 명문대에 합격한 8년 차 경력의 강사입니
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